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北京中考題二次方程

2020-05-04 11:37:38  來源:百度文庫

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北京中考題二次方程!同學們想要學好初中數學,概念和公式必須牢牢掌握。什么是一元二次方程呢?只含有一個未知數(一元),并且未知數項的最高次數是2(二次)的整式方程叫做一元二次方程。標準形式:ax²+bx+c=0(a≠0)。下面,小編為大家帶來北京中考題二次方程,希望可以給大家帶來幫助喲~

北京中考題二次方程

  考點一:一元二次方程的有關概念(意義、一般形式、根的概念等)

  例1 (2012•蘭州)下列方程中是關于x的一元二次方程的是(  )

  A.x2+=0 B.ax2+bx+c=0

  C.(x-1)(x+2)=1 D.3x2-2xy-5y2=0

  思路分析:一元二次方程必須滿足四個條件:

  (1)未知數的最高次數是2;

  (2)二次項系數不為0;

  (3)是整式方程;

  (4)含有一個未知數.由這四個條件對四個選項進行驗證,滿足這四個條件者為正確答案.

  解:A、原方程為分式方程;故本選項錯誤;

  B、當a=0時,即ax2+bx+c=0的二次項系數是0時,該方程就不是一元二次方程;故本選項錯誤;

  C、由原方程,得x2+x-3=0,符合一元二次方程的要求;故本選項正確;

  D、方程3x2-2xy-5y2=0中含有兩個未知數;故本選項錯誤.

  故選C.

  點評:本題考查了一元二次方程的概念,判斷一個方程是否是一元二次方程,首先要看是否是整式方程,然后看化簡后是否是只含有一個未知數且未知數的最高次數是2.

  對應訓練

  1.(2012•惠山區)一元二次方程(a+1)x2-ax+a2-1=0的一個根為0,則a= .

  1.1

  解:∵一元二次方程(a+1)x2-ax+a2-1=0的一個根為0,

  ∴a+1≠0且a2-1=0,

  ∴a=1.

  故答案為1.

  點評:本題考查了一元二次方程的定義:含一個未知數,并且未知數的最高次數為2的整式方程叫一元二次方程,其一般式為ax2+bx+c=0(a≠0).也考查了一元二次方程的解的定義.

  考點二:一元二次方程的解法

  例2 (2012•安徽)解方程:x2-2x=2x+1.

  思路分析:先移項,把2x移到等號的左邊,再合并同類項,最后配方,方程的左右兩邊同時加上一次項系數一半的平方,左邊就是完全平方式,右邊就是常數,然后利用平方根的定義即可求解.

  解:∵x2-2x=2x+1,

  ∴x2-4x=1,

  ∴x2-4x+4=1+4,

  (x-2)2=5,

  ∴x-2=±,

  ∴x1=2+,x2=2-.

  點評:此題考查了配方法解一元二次方程,配方法的一般步驟:

  (1)把常數項移到等號的右邊;

  (2)把二次項的系數化為1;

  (3)等式兩邊同時加上一次項系數一半的平方;

  (4)選擇用配方法解一元二次方程時,最好使方程的二次項的系數為1,一次項的系數是2的倍數.

  例3 (2012•黔西南州)三角形的兩邊長分別為2和6,第三邊是方程x2-10x+21=0的解,則第三邊的長為(  )

  A.7 B.3 C.7或3 D.無法確定

  思路分析:將已知的方程x2-10x+21=0左邊分解因式,利用兩數相乘積為0,兩因式中至少有一個為0轉化為兩個一元一次方程,求出一次方程的解得到原方程的解為3或7,利用三角形的兩邊之和大于第三邊進行判斷,得到滿足題意的第三邊的長.

  解:x2-10x+21=0,

  因式分解得:(x-3)(x-7)=0,

  解得:x1=3,x2=7,

  ∵三角形的第三邊是x2-10x+21=0的解,

  ∴三角形的第三邊為3或7,

  當三角形第三邊為3時,2+3<6,不能構成三角形,舍去;

  當三角形第三邊為7時,三角形三邊分別為2,6,7,能構成三角形,

  則第三邊的長為7.

  故選A

  點評:此題考查了利用因式分解法求一元二次方程的解,以及三角形的邊角關系,利用因式分解法解方程時,首先將方程右邊化為0,左邊分解因式,然后利用兩數相乘積為0,兩因式中至少有一個為0轉化兩個一次方程來求解.

  對應訓練

  2.(2012•臺灣)若一元二次方程式x2-2x-3599=0的兩根為a、b,且a>b,則2a-b之值為何?(  )

  A.-57 B.63 C.179 D.181

  2.D

  2.解:x2-2x-3599=0,

  移項得:x2-2x=3599,

  x2-2x+1=3599+1,

  即(x-1)2=3600,

  x-1=60,x-1=-60,

  解得:x=61,x=-59,

  ∵一元二次方程式x2-2x-3599=0的兩根為a、b,且a>b,

  ∴a=61,b=-59,

  ∴2a-b=2×61-(-59)=181,

  故選D.

  3.(2012•南充)方程x(x-2)+x-2=0的解是(  )

  A.2 B.-2,1 C.-1 D.2,-1

  3.D

  考點三:根的判別式的運用

  例3 (2012•襄陽)如果關于x的一元二次方程kx2-x+1=0有兩個不相等的實數根,那么k的取值范圍是(  )

  A.k< B.k<且k≠0 C.-≤k< D.-≤k<且k≠0

  思路分析:根據方程有兩個不相等的實數根,則△>0,由此建立關于k的不等式,然后就可以求出k的取值范圍.

  解:由題意知:2k+1≥0,k≠0,△=2k+1-4k>0,

  ∴-≤k<且k≠0.

  故選D.

  點評:此題考查了一元二次方程根的判別式,一元二次方程根的判別式△=b2-4ac.一元二次方程根的情況與判別式△的關系為:

  (1)△>0⇔方程有兩個不相等的實數根;

  (2)△=0⇔方程有兩個相等的實數根;

  (3)△<0⇔方程沒有實數根.

  例4 (2012•綿陽)已知關于x的方程x2-(m+2)x+(2m-1)=0.

  (1)求證:方程恒有兩個不相等的實數根;

  (2)若此方程的一個根是1,請求出方程的另一個根,并求以此兩根為邊長的直角三角形的周長.

  思路分析:(1)根據關于x的方程x2-(m+2)x+(2m-1)=0的根的判別式的符號來證明結論;

  (2)根據一元二次方程的解的定義求得m值,然后由根與系數的關系求得方程的另一根.分類討論:①當該直角三角形的兩直角邊是1、3時,由勾股定理得斜邊的長度為:;②當該直角三角形的直角邊和斜邊分別是1、3時,由勾股定理得該直角三角形的另一直角邊為;再根據三角形的周長公式進行計算.

  解:(1)證明:∵△=(m+2)2-4(2m-1)=(m-2)2+4,

  ∴在實數范圍內,m無論取何值,(m-2)2+4≥4,即△≥4,

  ∴關于x的方程x2-(m+2)x+(2m-1)=0恒有兩個不相等的實數根;

  (2)根據題意,得

  12-1×(m+2)+(2m-1)=0,

  解得,m=2,

  則方程的另一根為:3;

  ①當該直角三角形的兩直角邊是1、3時,由勾股定理得斜邊的長度為:;

  該直角三角形的周長為1+3+=4+;

  ②當該直角三角形的直角邊和斜邊分別是1、3時,由勾股定理得該直角三角形的另一直角邊為2;則該直角三角形的周長為1+3+2=4+2.

  點評:本題綜合考查了勾股定理、根的判別式、一元二次方程解的定義.解答(2)時,采用了“分類討論”的數學思想.

  對應訓練

  3.(2012•桂林)關于x的方程x2-2x+k=0有兩個不相等的實數根,則k的取值范圍是(  )

  A.k<1 B.k>1 C.k<-1 D.k>-1

  3.A.

  4.(2012•珠海)已知關于x的一元二次方程x2+2x+m=0.

  (1)當m=3時,判斷方程的根的情況;

  (2)當m=-3時,求方程的根.

  4.解:(1)∵當m=3時,

  △=b2-4ac=22-4×3=-8<0,

  ∴原方程無實數根;

  (2)當m=-3時,

  原方程變為x2+2x-3=0,

  ∵(x-1)(x+3)=0,

  ∴x-1=0,x+3=0,

  ∴x1=1,x2=-3.

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  考點四:一元二次方程的應用

  例5 (2012•南京)某汽車銷售公司6月份銷售某廠家的汽車,在一定范圍內,每部汽車的進價與銷售量有如下關系:若當月僅售出1部汽車,則該部汽車的進價為27萬元,每多售出1部,所有售出的汽車的進價均降低0.1萬元/部,月底廠家根據銷售量一次性返利給銷售公司,銷售量在10部以內(含10部),每部返利0.5萬元;銷售量在10部以上,每部返利1萬元.

  (1)若該公司當月售出3部汽車,則每部汽車的進價為 萬元;

  (2)如果汽車的售價為28萬元/部,該公司計劃當月返利12萬元,那么需要售出多少部汽車?(盈利=銷售利潤+返利)

  思路分析:(1)根據若當月僅售出1部汽車,則該部汽車的進價為27萬元,每多售出1部,所有售出的汽車的進價均降低0.1萬元/部,得出該公司當月售出3部汽車時,則每部汽車的進價為:27-0.1×2,即可得出答案;

  (2)利用設需要售出x部汽車,由題意可知,每部汽車的銷售利潤,根據當0≤x≤10,以及當x>10時,分別討論得出即可.

  解:(1)∵若當月僅售出1部汽車,則該部汽車的進價為27萬元,每多售出1部,所有售出的汽車的進價均降低0.1萬元/部,

  ∴若該公司當月售出3部汽車,則每部汽車的進價為:27-0.1×2=26.8,

  故答案為:26.8;

  (2)設需要售出x部汽車,

  由題意可知,每部汽車的銷售利潤為:

  28-[27-0.1(x-1)]=(0.1x+0.9)(萬元),

  當0≤x≤10,

  根據題意,得x•(0.1x+0.9)+0.5x=12,

  整理,得x2+14x-120=0,

  解這個方程,得x1=-20(不合題意,舍去),x2=6,

  當x>10時,

  根據題意,得x•(0.1x+0.9)+x=12,

  整理,得x2+19x-120=0,

  解這個方程,得x1=-24(不合題意,舍去),x2=5,

  因為5<10,所以x2=5舍去,

  答:需要售出6部汽車.

  點評:本題考查了一元二次方程的應用.解題關鍵是要讀懂題目的意思,根據題目給出的條件,找出合適的等量關系并進行分段討論是解題關鍵.

  對應訓練

  5.(2012•樂山)菜農李偉種植的某蔬菜計劃以每千克5元的單價對外批發銷售,由于部分菜農盲目擴大種植,造成該蔬菜滯銷.李偉為了加快銷售,減少損失,對價格經過兩次下調后,以每千克3.2元的單價對外批發銷售.

  (1)求平均每次下調的百分率;

  (2)小華準備到李偉處購買5噸該蔬菜,因數量多,李偉決定再給予兩種優惠方案以供選擇:

  方案一:打九折銷售;

  方案二:不打折,每噸優惠現金200元.

  試問小華選擇哪種方案更優惠,請說明理由.

  5.解 (1)設平均每次下調的百分率為x.

  由題意,得5(1-x)2=3.2.

  解這個方程,得x1=0.2,x2=1.8.

  因為降價的百分率不可能大于1,所以x2=1.8不符合題意,

  符合題目要求的是x1=0.2=20%.

  答:平均每次下調的百分率是20%.

  (2)小華選擇方案一購買更優惠.

  理由:方案一所需費用為:3.2×0.9×5000=14400(元),

  方案二所需費用為:3.2×5000-200×5=15000(元).

  ∵14400<15000,

  ∴小華選擇方案一購買更優惠.

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